Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá toán học số 1 trong thế kỷ 20

Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá toán học số 1 trong thế kỷ 20


Perry Marshall •Thứ năm, 08/11/2018


Chia sẻ FBChia sẻ TwitterBình luận“Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học nhất trong thế kỷ 20” chính là một bài giảng của Perry Marshall. Dưới đây chính là bản lược dịch của Phạm Việt Hưng.
Định lý Bất toàn của GödelPerry Marshall – doanh nhân, nhà chiến lược gia marketing , tác giả sách (ảnh: Wiki)Lời dẫn của người dịch:Gottfried Leibniz có lần nói: “Không có toán học chúng ta chưa thể đi sâu vào triết học. Không có triết học mọi người chưa thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta chưa thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”. Dẫn lời Leibniz, Perry Marshall đưa mọi người vào thế giới của Toán học và Triết học, ở đó mọi người có thể thấy rõ hơn chân lý, biết đâu chính là sự thật. Đó là mục đích bài giảng của ông…ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN CỦA GÖDEL: KHÁM PHÁ TOÁN HỌC SỐ I CỦA THẾ KỶ XXBài giảng của Perry MarshallGottfried Leibniz:“Không có toán học mọi người chưa thể đi sâu vào triết học. Không có triết học mọi người không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai mọi người chưa thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”.Galileo Galilei:“Toán học chính là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”Năm 1931, Kurt Gödel giáng cho các nhà toán học trong thời của ông một đòn nặng nề. Năm 1931, nhà toán học trẻ Kurt Gödel có một khám phá mang tính bước ngoặt, gây ra những chấn động lớn như những gì Albert Einstein đã làm.Khám phá của Gödel không những áp dụng cho toán học, mà thực ra áp dụng cho tất cả các ngành của khoa học, logic , và hiểu biết của con người nói chung. Nó thực sự thực hiện rung chuyển trái đất.Định lý Bất toàn của GödelNhà toán học Kurt Gödel, ảnh chụp năm 1925 (ảnh: wiki)Nhưng trớ trêu thay, không mấy ai biết về nó. Vậy hãy cho phép tôi nói với chúng ta câu chuyện về định lý này.Các nhà toán học vốn thích triệu chứng minh mọi thứ. Vì thế họ nóng lòng , băn khoăn trong suốt nhiều thế kỷ vì có một số định đề toán học họ nghĩ là đúng nhưng không thể CHỨNG MINH.Chẳng hạn nếu bạn đã từng học Hình học ở trường trung học, hẳn là bạn đã làm những bài tập chứng minh các tính chất của tam giác dựa ở trên một số định lý cơ bản.Môn hình học đó đã được xây dựng ở trên 5 tiên đề của Euclid. Mọi người đều thấy những tiên đề đó chính là đúng, Tuy nhiên sau 2500 năm vẫn chưa có ai tìm ra cách chứng minh chúng.Vâng, dường như hoàn toàn hợp lý khi cho rằng một đường thẳng có thể kéo dài vô tận về hai phía, Tuy nhiên chưa ai có thể CHỨNG TỎ điều đó. Chúng ta chỉ có thể bày tỏ rằng đó là một tập hợp 5 tiên đề hợp lý, , thực tế là cần thiết.Những thiên tài toán học cao chót vót đã thất vọng trong hơn 2000 năm bởi vì họ chưa thể chứng minh tất cả các định lý của họ. Có rất nhiều điều “rõ ràng” là đúng nhưng chưa ai có thể tìm ra cách chứng minh.Tuy nhiên, vào những năm đầu của thập niên 1900, một niềm lạc quan to lớn bắt đầu phát triển trong giới toán học. Các nhà toán học xuất sắc nhất thế giới lúc đó (như Bertrand Russell, David Hilbert , Ludwig Wittgenstein) tin rằng họ đang nhanh chóng tiến gần tới một phương pháp tổng hợp cuối cùng.(Họ tin rằng) một sự thống số 1 “Lý thuyết về mọi thứ” rốt cuộc sẽ thít chặt các đầu mối lỏng lẻo. Toán học sẽ kiện toàn, đạn bắn không thủng, chưa có kẽ hở cho chưa khí lọt vào, , toán học cũng sẽ đắc thắng.(Nhưng) năm 1931, nhà toán học trẻ người Áo, Kurt Gödel, đã công bố một công trình CHỨNG MINH một lần và mãi mãi rằng một Lý thuyết Duy số 1 về Mọi thứ thực ra là chưa thể có (impossible, bất khả).Khám phá của Gödel đã được gọi là “Định lý Bất toàn”.Nếu bạn dành cho tôi vài phút, thì tôi cũng sẽ giải thích với bạn định lý đó nói gì, Gödel đã khám phá ra định lý đó như thế nào, , định lý đó có ý nghĩa gì – tôi nói chỉ bằng một ngôn ngữ mộc mạc, đơn giản đến nỗi ai cũng hiểu.


Định lý Bất toàn của Gödel nói rằng:


“Bất cứ điều gì mà bạn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó sẽ không thể tự giải thích về bản thân nó mà không tham chiếu đến một cái gì đó ở bên ngoài vòng tròn – một cái gì đó mà bạn phải thừa nhận chính là đúng nhưng chưa thể triệu chứng minh.”Xin nhắc lại điều nói ở trên chỉ bằng ngôn ngữ chính thức của khoa học:Định lý Bất toàn của Gödel nói rằng: “Bất kỳ lý thuyết nào đã được tạo ra một cách hiệu quả đủ nguy cơ biểu diễn số học sơ cấp đều chưa thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Đặc biệt, đối với bất kỳ lý thuyết hình thức nào số 1 quán, đã được gây nên một cách tốt nhất cho phép triệu chứng minh một số chân lý số học căn bản, cũng sẽ có một mệnh đề số học đúng Tuy nhiên chưa thể chứng minh trong lý thuyết ấy.”Luận đề Church-Turing nói rằng một hệ vật lý có thể biểu diễn số học sơ cấp y như con người, và rằng số học của Máy Turing (computer) chưa thể triệu chứng minh được bên trong hệ thống đó , và do đó computer cũng bất toàn.Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo lường đều có nguy cơ biểu diễn số học sơ cấp (Nói cách khác, trẻ em có thể làm toán bằng cách đếm ngón tay, nước chảy vào thùng cũng sẽ tạo nên một lượng nước đếm được, , và các hệ vật lý luôn luôn đua ra câu trả lời rõ ràng).Do đó vũ trụ (thế giới vật lý) có khả năng biểu diễn đã được bằng số học sơ cấp , giống như bản thân toán học , và computer, vũ trụ ấy chính là bất toàn.Lý luận ở trên có thể tóm tắt bằng tam đoạn luận sau đây:1. Mọi hệ thống đủ phức tạp có thể tính toán được đều bất toàn. 2. Vũ trụ là một hệ đủ phức tạp có thể tính toán được. 3. Do đó vũ trụ là bất toàn.Bạn có thể vẽ một vòng tròn xung quanh tất cả các khái niệm trong cuốn sách hình học trung học của bạn. Nhưng tất cả chúng được xây dựng ở trên 5 tiên đề của Euclid, những tiên đề này rõ ràng chính là đúng Tuy nhiên không thể triệu chứng minh. 5 tiên đề đó nằm ngoài cuốn sách, tức là bên ngoài vòng tròn bạn vừa vẽ.Bạn cũng có thể vẽ một vòng tròn xung quanh một chiếc xe đạp Tuy nhiên sự tồn tại của chiếc xe đạp đó dựa vào một nhà máy ở bên ngoài vòng tròn đó. Chiếc xe đạp không thể tự giải thích sự tồn tại của bản thân nó.Gödel chứng minh rằng LUÔN LUÔN có nhiều cái đúng hơn chính là cái bạn có thể triệu chứng minh. Trong bất kỳ hệ thống logic hay hệ thống số nào mà các nhà toán học đã từng xây dựng được đều luôn luôn tồn tại ít số 1 một vài giả định chưa thể chứng minh.Định lý bất toàn của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà cho mọi đối tượng tuân thủ các định luật của logic. Bất toàn đúng trong toán học; nó cũng đúng trong khoa học hay là ngôn ngữ hoặc triết học.Và: Nếu vũ trụ mang tính chất toán học , logic thì tính bất toàn cũng áp dụng cho vũ trụ.Định lý Bất toàn của GödelGödel và Einstein vốn là một cặp bạn bè thân thiết khi hai ông cùng chính là giáo sư tại Đại học Princeton. (ảnh qua world.edu)Gödel sáng gây nên chứng minh của mình chỉ bằng cách khởi đầu với “Nghịch lý Kẻ nói dối” (The Liar’s Paradox) – đó chính là mệnh đề: “Tôi đang nói dối.” (I am lying)Mệnh đề “Tôi đang nói dối” là một mệnh đề tự mâu thuẫn, bởi nếu mệnh đề ấy phản ánh đúng sự thật, rằng tôi chính là một kẻ nói dối, thì suy ra mệnh đề vừa nói chưa đáng tin cậy, tức chính là mệnh đề ấy mâu thuẫn với chính nó; nếu mệnh đề ấy sai, lập luận tương tự cũng đi đến mâu thuẫn .Tương tự như vậy, chỉ bằng một trong những biến đổi khéo léo số 1 trong lịch sử toán học, Gödel đã chuyển Nghịch lý Kẻ Nói Dối thành một công thức toán học. Ông đã chứng minh rằng bất kỳ một mệnh đề nào cũng đòi hỏi một quan sát viên bên ngoài.Không có mệnh đề nào (một sự trình bày nào) có thể một mình nó tự chứng minh nó đúng.Định lý bất toàn của Gödel chính là một đòn nặng nề giáng vào “chủ nghĩa thực chứng” trong thời đại đó. Gödel chứng minh định lý của ông một cách rõ ràng trắng đen đến nỗi không ai có thể tranh cãi với logic của ông.Tuy nhiên một số đồng nghiệp toán học của ông đến lúc ra đi về bên kia thế giới vẫn phủ nhận ông, tin rằng bằng cách này hay là cách khác, trước sau Gödel chắc chắn phải sai.Nhưng ông không sai. Định lý Bất toàn của ông thực sự đúng. Có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể triệu chứng minh.Định lý Bất toàn của GödelNăm 1951 Gödel trở thành một trong hai người đầu tiên đoạt Giải thưởng Einstein (Albert Einstein Award), một giải thưởng dành cho những công trình về vật lý lý thuyết, được thiết lập ngay từ khi Einstein đang còn sống. (ảnh: Internet)Một “lý thuyết về mọi thứ” – dù trong toán học hay vật lý, triết học – sẽ không bao giờ tìm thấy. Đơn giản vì nó không thể tồn tại (impossible, bất khả).OK, vậy điều này thực ra có ý nghĩa gì? Tại sao vấn đề này lại là vô cùng quan trọng, thay vì chỉ là một chuyện phiếm để mua vui?


Đây chính là ý nghĩa của định lý bất toàn:


Đức tin và Lý lẽ chưa phải chính là kẻ thù của nhau. Thực ra điều ngược lại mới đúng! Cái này nhất thiết cần cái kia để tồn tại. Mọi lý lẽ rốt cuộc đều quay trở lại niềm tin vào một cái gì đó mà bạn chưa thể chứng minh.● Mọi hệ thống đóng kín đều phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống.Bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn lớn hơn Tuy nhiên sẽ luôn luôn tồn tại một cái gì đó bên ngoài vòng tròn.Lý lẽ hướng đến từ một vòng tròn lớn hơn vào một vòng tròn nhỏ hơn chính là “lý lẽ suy diễn” (deductive reasoning). Thí dụ:1. Mọi người đều sẽ chết. 2. Socrates chính là một con người. 3. Vậy Socrates sẽ chết.● Lý lẽ hướng đến từ một vòng tròn nhỏ hơn ra một vòng tròn lớn hơn chính là “lý lẽ quy nạp”. Thí dụ:1. Khi tôi thả đồ vật ra, chúng sẽ rơi. 2. Do đó tồn tại một định luật về hấp dẫn chi phối mọi vật thể rơi.Chú ý rằng khi bạn chuyển từ vòng tròn nhỏ hơn ra vòng tròn lớn hơn, bạn phải thừa nhận rằng bạn không thể chứng minh 100%.Chẳng hạn bạn không thể CHỨNG MINH lực hấp dẫn luôn luôn tồn tại vào mọi lúc. các bạn chỉ có thể nhận thấy lực hấp dẫn tồn tại vào mỗi lúc bạn quan sát. Bạn chưa thể CHỨNG MINH vũ trụ là hợp lý (rational, tuân thủ những quy luật nhất định). Bạn chỉ có thể nhận thấy các công thức toán học, như E = mc2 chẳng hạn, dường như mô tả một cách hoàn hảo cái mà vũ trụ tiến hành.Gần như mọi định luật khoa học đều dựa trên lý lẽ quy nạp. Những định luật này đều dựa trên một giả định cho rằng vũ trụ chính là logic , dựa trên những định luật cố định có thể khám phá ra.Bạn không thể CHỨNG MINH giả định đó (bạn chưa thể chứng minh mặt trời sẽ mọc vào buổi sớm mai). Thực ra bạn phải chấp nhận điều đó chỉ bằng niềm tin. Khoa học được xây dựng trên những giả định triết học mà bạn không thể chứng minh bằng khoa học. Thật vậy, phương pháp khoa học chưa thể triệu chứng minh, nó chỉ có thể gợi ý, phỏng đoán (Khoa học xuất phát từ tư tưởng nguyên thủy rằng Chúa gây nên một vũ trụ có trật tự tuân thủ các định luật cố định có thể khám phá được).Bây giờ hãy xem xét điều gì cũng sẽ xảy ra khi chúng ta vẽ vòng tròn lớn nhất có thể có – vòng tròn bao quanh toàn thể vũ trụ (nếu có đa vũ trụ thì vẽ môt vòng tròn chứa tất cả những vũ trụ đó):● Phải có một cái gì đó bên ngoài vòng tròn đó. Một cái gì đó mà mọi người phải thừa nhận chính là chưa thể triệu chứng minh được.● Vũ trụ mà chúng ta biết chính là hữu hạn – hữu hạn vật chất, hữu hạn năng lượng, không gian hữu hạn , và thời gian là 13,7 tỷ năm tuổi.● Vũ trụ ấy mang tính chất toán học. Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo đạc đều có thể biểu diễn bởi số học (Bạn chưa cần biết toán học để thực hiện phép cộng – bạn có thể sử dụng bàn tính gẩy tay để tìm câu trả lời vào mọi lúc).● Vũ trụ (tất cả mọi vật chất, năng lượng, không gian, thời gian) không thể tự giải thích cho nó.● Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn số 1 đều chính là vô hạn. Theo định nghĩa, không thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó.● Nếu chúng ta vẽ một vòng tròn bao quanh mọi vật chất, năng lượng, không gian , thời gian , áp dụng định lý Gödel, chúng ta sẽ thấy cái gì ở ngoài vòng tròn đó cũng sẽ chưa phải là vật chất, chưa phải năng lượng, chưa phải chưa gian , và cũng không phải thời gian. Đó chính là thế giới phi vật chất.Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều chưa phải chính là một hệ thống – nghĩa là không phải một tập hợp bao gồm các thành phần. Nói cách khác, nếu chúng ta có thể vẽ một vòng tròn bao quanh vật chất, năng lượng, không-thời-gian thì cái nằm ngoài vòng tròn ấy chính là không thể phân chia được.● Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều chính là lý do chưa có nguyên nhân, bởi vì bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh một kết quả.


Chúng ta có thể áp dụng lý lẽ quy nạp tương tự cho nguồn gốc của thông tin:


Trong lịch sử vũ trụ, chúng ta cũng đã biết sự xuất hiện của thông tin, vào khoảng 3.5 tỷ năm trước. Nó xuất phát đến từ mã của Hệ Di truyền (Genetic code), một thứ phi vật chất mang tính biểu tượng .● Thông tin phải xuất phát đến từ bên ngoài, bởi vì thông tin được biết không phải là một đặc trưng vốn thuộc về vật chất, năng lượng và chưa gian hoặc thời gian.● Mọi mã mà mọi người biết nguồn gốc đều đã được thiết kế bởi những thực thể có ý thức.● Do đó bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất cũng phải là một thực thể có ý thức.Nói cách khác, khi chúng ta bổ sung thông tin vào trong phương trình, chúng ta có thể kết luận rằng cái ở bên ngoài vòng tròn lớn số 1 không chỉ vô hạn và phi vật chất, mà còn có ý thức.Chẳng phải thú vị hay sao khi những vấn đề này nghe có vẻ đáng ngờ vực như những gì mà các nhà thần học đã mô tả Chúa trong hàng ngàn năm nay?Vì thế sẽ chẳng có gì đáng ngạc nhiên khi thấy 80-90% dân chúng trên thế giới tin vào Thượng đế theo một cách nào đó. Thật vậy, đó chính là trực giác đối với phần lớn các dân tộc. Nhưng định lý Gödel chỉ ra rằng đó cũng chính là logic tối cao. Thực ra đó là lập trường duy nhất mà người ta có thể nắm lấy , và đứng trên đó trong vương quốc của lý lẽ và logic.Người nào tự phụ tuyên bố “Bạn chính là người của đức tin, còn tôi là người của khoa học” thì người ấy chưa hiểu gốc rễ của khoa học hoặc bản chất của tri thức!>> Những chuyên gia lỗi lạc nhất tin vào thuyết vô thần hay hữu thần?Một khía cạnh thú vị khác…Nếu bạn có dịp thăm một trang mạng vô thần lớn số 1 thế giới có tên chính là Infidels, bạn cũng sẽ thấy ở trên trang chủ lời tuyên bố sau đây: “Chủ nghĩa duy thiên nhiên (naturalism) chính là giả thuyết cho rằng thế giới tự nhiên là một hệ đóng, ngụ ý rằng không có cái gì chưa phải là thành phần của thế giới thiên nhiên mà lại tác động lên nó”Nếu bạn biết định lý Gödel, bạn sẽ thấy rằng mọi hệ logic phải phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống. Vậy theo định lý bất toàn của Gödel, tuyên bố của trang mạng Infidels chưa thể chính xác. Nếu vũ trụ là logic, nó phải có một nguyên nhân bên ngoài.Do đó chủ nghĩa vô thần vi phạm các định luật của lý lẽ và logic.Định lý Bất toàn của Gödel chứng minh một cách dứt khoát rằng khoa học chưa bao giờ có thể lấp kín những lỗ hổng của chính nó. Chúng ta không có chọn lựa nào khác chính là nhìn ra bên ngoài khoa học để tìm câu trả lời.Tính Bất toàn của vũ trụ chưa triệu chứng minh cho việc Chúa tồn tại. Nhưng… đó LÀ triệu chứng minh cho nhận định rằng để kiến tạo nên một mô hình vũ trụ hợp lý thì niềm tin vào Chúa không chỉ logic 100%… mà đó là điều cần thiết.5 tiên đề của Euclid không thể chứng minh một cách hình thức và Chúa cũng không thể chứng minh một cách hình thức . Nhưng… giống như bạn chưa thể xây dựng một hệ thống hình học chặt chẽ mà chưa có 5 tiên đề của Euclid, bạn cũng không thể xây dựng một lý thuyết mô tả vũ trụ chặt chẽ mà không có Nguyên nhân Ban đầu và một Cội Nguồn của trật tự.Do đó đức tin , khoa học không phải là kẻ thù của nhau, mà liên minh với nhau. Điều đó đã đúng trong hàng trăm năm, nhưng đến năm 1931 thì nhà toán học trẻ gầy ốm Kurt Gödel đã triệu chứng minh điều đó.Không có thời kỳ nào trong lịch sử nhân loại đức tin vào Chúa lại trở nên có lý hơn, logic hơn, hoặc hoàn hảo hơn bằng khi nó được trợ giúp bởi khoa học , và toán học.Perry Marshall
Phạm Việt Hưng dịch>> Ý thức – “điểm mù” của khoa học đang dần đã được hé mở


Albert EinsteinKurt Godelthuyết vô thầntoán họcTư duy Logic


2018-11-08